Условие
Шар радиуса
R касается плоскости
α . Рассмотрим всевозможные
шары радиуса
r , касающиеся данного шара и плоскости
α . Найдите
геометрические места центров этих шаров и точек их касания с
плоскостью и данным шаром.
Решение
Пусть
O – центр данного шара радиуса
R ,
A – точка касания этого
шара с данной плоскостью
α ,
Q – центр произвольного шара радиуса
r , касающегося плоскости
α в точке
M , а данного шара – в точке
N .
Так как
OA 
α и
QM α , то
OA || QM . Через
параллельные прямые
OA и
QM проведём плоскость. Точка
N лежит в этой плоскости,
т.к. линия центров двух касающихся шаров проходит через их точку
касания. Опустим перпендикуляры
QB и
NC из точек
Q и
N на прямую
OA . Далее находим:
OB = OA - AB = OA - QM = R - r,
QB = 
= 
= 2
,
CN = BQ· 
= 2· 
= 
,
OC = OB· = (R-r)· = 
,
AC = OA - OC = R - 
= 
.
Отсюда вытекают следующие утверждения.
Точка
Q лежит на окружности радиуса
2
с центром в
фиксированной точке
B . Плоскость этой окружности проходит через
точку
B параллельно плоскости
α и удалена от плоскости
α на
расстояние
r . Очевидно, что каждая точка этой окружности
является центром шара радиуса
r , касающегося плоскости
α и данного
шара радиуса
R .
Точка
M лежит на окружности радиуса
2
с центром в точке
A .
Очевидно, что каждая точка этой окружности является точкой касания
плоскости
α с шаром радиуса
r , касающимся также данного шара
радиуса
R .
Точка
N лежит на окружности радиуса
с центром в
фиксированной точке
C . Плоскость этой окружности проходит через
точку
C параллельно плоскости
α и удалена от плоскости
α на
расстояние
. Очевидно, что каждая точка этой
окружности является точкой касания данного шара с некоторым шаром
радиуса
r , касающимся также плоскости
α .
Ответ
Окружности радиусов
2
,
2
и
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8351 |
