Задача 109317

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона правильного треугольника равна 11. Центры трёх шаров находятся в вершинах этого треугольника. Сколько существует различных плоскостей касающихся одновременно трёх шаров, если радиусы шаров равны 3, 4, 6.

Решение

Решим сначала такую задачу. Расстояние между центрами O1 и O2 окружностей радиусов соответственно r1 и r2 равно a . Прямая касается этих окружностей в точках M1 и M2 . Найти M1M2 . Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на прямую O2M2 . Тогда либо O2F = |r2 - r1| , либо O2F = r1 + r2 . Из прямоугольного треугольника O1O2F находим, что в первом случае (рис.1)

M1M2 = O1F = = ,
а во втором (рис.2) –
M1M2 = O1F = = .
Пусть некоторая плоскость касается шаров радиусов 3, 4 и 6 с центрами в вершинах A , B и C равностороннего треугольника ABC со стороной 11, в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Рассмотрим случай, когда точка C1 и отрезок A1B1 лежат по разные стороны от плоскости ABC . Тогда в трёх плоскостях, проведённых через параллельные прямые AA1 и CC1 , AA1 и BB1 , BB1 и CC1 из выведенных формул следует, что
A1B1 = = ,

A1C1 = = ,

B1C1 = = ,
что невозможно, т.к.
A1B1 = > + = A1C1 + B1C1

( > + 120 > 61 + 2 59 > 2 3481 > 3360).
Пусть точка A1 и отрезок B1C1 лежат по разные стороны от плоскости ABC . Тогда
B1C1 = = ,

A1B1 = = ,

A1C1 = = .
В этом случае наибольший из трёх полученных отрезков меньше суммы двух других
( < 11 < 8 + 6 < + ).
Следовательно, существует треугольник A1B1C1 , а значит, и две нужных плоскости (симметричных относительно плоскости треугольника ABC ). Пусть точка B1 и отрезок A1C1 лежат по разные стороны от плоскости ABC . Тогда
A1C1 = = ,

A1B1 = = ,

B1C1 = = .
В этом случае наибольший из трёх полученных отрезков меньше суммы двух других
( < 11 < 8 + 4 < + ).
Следовательно, существует треугольник A1B1C1 , а значит, ещё две нужных плоскости. Кроме того, очевидно, что существуют две плоскости, касающиеся трёх данных шаров в точках A1 , B1 и C1 , лежащих по одну сторону от плоскости треугольника ABC .

Ответ

6.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8355