Задача 109318

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Стороны треугольника равны a, b, c. Три шара попарно касаются друг друга и плоскости треугольника в его вершинах. Найдите радиусы шаров.

Решение

Рис. 1

Рис. 2

Пусть шары радиусов x, y и z с центрами A₁, B₁ и C₁ касаются плоскости треугольника ABC со сторонами AB = c, AC = b и BC = a в вершинах A, B и C соответственно (рис. 1). Проведём плоскость через параллельные прямые CC₁ и BB₁. Получим две касающиеся окружности радиусов y и z и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C (рис. 2), Из точки B₁ опустим перпендикуляр B₁F на прямую CC₁. Тогда

C₁F = |CC₁ − CF| = |CC₁ − BB₁| = |z − y|,

a² = BC² = B₁F² = B₁C₁² − C₁F² = (z + y)² − (z − y)² = 4yz.

Аналогично, b² = 4xz и c² = 4xy. Таким образом, мы получили систему уравнений относительно x, y и z:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

yz =  a² 4 , xz =  b² 4 , xy =  c² 4 .

Перемножив почленно второе и третье уравнения и разделив

результат на первое, получим, что x² =

b²c² 4a²

. Следовательно,

x =

bc 2a

. Аналогично, y =

ac 2b

, z =

ab 2c

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8356