Задача 109339

Темы:    [ Правильная призма ] [ Сфера, описанная около призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной призмы с высотой h и стороной основания a.

Решение

Центр сферы радиуса R, описанной около правильной n-угольной призмы, совпадает с серединой отрезка QQ′, соединяющего центры оснований A₁A₂…A_n и A₁′A₂′…A_n′. Сечение призмы и сферы, плоскостью основания A₁A₂…A_n есть правильный многоугольник A₁A₂…A_n, вписанный в окружность с центром в точке Q. Пусть r ─ радиус этой окружности, M ─ середина стороны A₁A₂. Из прямоугольных треугольников QMA₁ и OQA₁ находим, что

r = QA₁ =

MA₁ sin ∠MQA₁

=

MA₁ sin ½∠A₁QA₂

=

a 2 sin ¹⁸⁰°⁄n

,

R =

√ OQ² + A₁Q²

=

√ h² 4  +  a² 4 sin² ¹⁸⁰°⁄n

=

√ h² sin² ¹⁸⁰°⁄n + a² 2 sin ¹⁸⁰°⁄n

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8378