Задача 109370

Темы:    [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Вычисление объемов ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В вершинах A , B и C равностороннего треугольника ABC со стороной 1 восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них взяты точки A1 , B1 и C1 , находящиеся по одну сторону от плоскости ABC , причём AA1 = 4 , BB1 = 5 и CC1 = 6 . Найдите объём многогранника ABCA1B1C1 .

Решение

Пусть плоскость, проходящая через точку A1 параллельно плоскости ABC , пересекает отрезки BB1 и CC1 в точках B2 и C2 соответственно. Тогда многогранник ABCA1B1C1 состоит из правильной треугольной призмы ABCA1B2C2 и четырёхугольной пирамиды A1B1B2C2C1 , основание которой – прямоугольная трапеция B1B2C2C1 с основаниями

B1B2 = BB1 - BB2 = BB1 - AA1 = 5 - 4 = 1,

C1C2 = CC1 - CC2 = CC1 - AA1 = 6 - 4 = 2.
Пусть A1M – высота равностороннего треугольника A1B2C2 . Тогда A1M B2C2 и A1M B1B2 , поэтому A1M – перпендикуляр к плоскости B1B2C2C1 . Значит, A1M – высота четырёхугольной пирамиды A1B1B2C2C1 . Следовательно,
V_ABCA1B1C1 = V_ABCA1B2C2 + V_A1B1B2C2C1 = S_{Δ ABC}· AA1 + S_B1B2C2C1· A1M=

= · 4 + · (1 + 2)· = + = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8450