Задача 109375

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Прямоугольный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны a , b и c . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть боковые рёбра DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD попарно перпендикулярны и DA = a , DB = b , DC = c . Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD с вершиной C и основанием ABD . Её боковое ребро CD перпендикулярно двум пересекающимся прямым BD и AD плоскости ABD . Поэтому CD – перпендикуляр к этой плоскости. Значит, CD = c – высота пирамиды ABCD . Основание этой пирамиды – прямоугольный треугольник ABD с катетами AD = a и BD = b . Следовательно,

V_ABCD = S_{Δ ABD}· CD = · ab· c = abc.

Ответ

abc .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8465