Задача 109376

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Прямоугольный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите высоту треугольной пирамиды, боковые рёбра которой попарно перпендикулярны и равны 2, 3 и 4.

Решение

Пусть боковые рёбра DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD попарно перпендикулярны и DA = 2 , DB = 3 , DC = 4 . Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD с вершиной C и основанием ABD . Её боковое ребро CD перпендикулярно двум пересекающимся прямым BD и AD плоскости ABD . Поэтому CD – перпендикуляр к этой плоскости. Значит, CD = 4 – высота пирамиды ABCD . Основание этой пирамиды – прямоугольный треугольник ABD с катетами AD = 2 и BD = 3 . Следовательно,

V_ABCD = S_{Δ ABD}· CD = · AD· BD· CD = · 2· 3 · 4 = 4.
Пусть DK – искомая высота пирамиды ABCD . Тогда
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DK.
Отсюда находим, что
DK = = .
Осталось найти площадь треугольника ABC . Пусть прямые AK и BC пересекаются в точке M . Тогда прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым DK и AD плоскости AMD . Значит, BC DM , т.е. DM – высота прямоугольного треугольника BCD , проведённая из вершины прямого угла, а AM – высота треугольника ABC . Далее имеем:
DM = = = ,

AM = = = ,

S_{Δ ABC} = BC· AM = · 5· = .
Следовательно,
DK = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8466