ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109376
Темы:    [ Объем помогает решить задачу ]
[ Прямоугольный тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите высоту треугольной пирамиды, боковые рёбра которой попарно перпендикулярны и равны 2, 3 и 4.

Решение

Пусть боковые рёбра DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD попарно перпендикулярны и DA = 2 , DB = 3 , DC = 4 . Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD с вершиной C и основанием ABD . Её боковое ребро CD перпендикулярно двум пересекающимся прямым BD и AD плоскости ABD . Поэтому CD – перпендикуляр к этой плоскости. Значит, CD = 4 – высота пирамиды ABCD . Основание этой пирамиды – прямоугольный треугольник ABD с катетами AD = 2 и BD = 3 . Следовательно,

VABCD = SΔ ABD· CD = · AD· BD· CD = · 2· 3 · 4 = 4.

Пусть DK – искомая высота пирамиды ABCD . Тогда
VABCD = SΔ ABC· DK.

Отсюда находим, что
DK = = .

Осталось найти площадь треугольника ABC . Пусть прямые AK и BC пересекаются в точке M . Тогда прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым DK и AD плоскости AMD . Значит, BC DM , т.е. DM – высота прямоугольного треугольника BCD , проведённая из вершины прямого угла, а AM – высота треугольника ABC . Далее имеем:
DM = = = ,


AM = = = ,


SΔ ABC = BC· AM = · 5· = .

Следовательно,
DK = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8466

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .