Задача 109488

Темы:    [ Точка Микеля ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательная окружность ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Филимонов В.П.

Точки A' , B' и C' "– середины сторон BC , CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH "– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M , отличную от H , то ABM= CBB' .

Решение

Пусть A и C – окружности, описанные около треугольников AHC' и CHA' соответственно. Так как точки B и H симметричны относительно средней линии A'C' треугольника ABC , то C'H=C'B=C'A ; A'H=A'B=A'C , т.е. треугольники AHC' и CHA' равнобедренные. Поэтому A'C' ( || AC ) – общая касательная к окружностям A и C .

Пусть S – точка пересечения прямых HM и A'C' , тогда SC'²=SM· SH=SA'² , т.е. S – середина A'C' и

CBB'= CBS . Пусть _B – окружность, описанная вокруг треугольника BA'C' . Покажем, что точка M лежит на этой окружности. Действительно, если α , β , γ – углы треугольника ABC , то C'MA'= 2π - C'MH- A'MH=2π-(π-α)-(π-γ)= α+γ= π-β .

Пусть l – серединный перпендикуляр к A'C' . Окружность _B симметрична относительно l . Так как HSC'= BSC'= A'SB' , отрезки SH и SB' симметричны относительно l . Значит, точка N , симметричная точке M относительно l , лежит на _B и на BB' , а дуги C'M и NA' равны. Вписанные углы C'BM и A'BN опираются на эти дуги, т.е. равны. Итак, ABM= C'BM= A'BN= CBB' .

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	11
задача
Номер	6