Задача 109492

Темы:    [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри треугольника ABC , такая, что XAB= XBC=ϕ , а P – такая точка, что PX OX , XOP=ϕ , причем углы XOP и XAB одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P лежат на одной прямой.

Решение

Так как XAB= XBC , то все точки X лежат на одной окружности , проходящей через точки A и B . Опустим на прямую BP перпендикуляр OY . Из перпендикулярности PX и OX получаем, что точки Y , O , P , X лежат на одной окружности. Отсюда получаем равенства ориентированных углов BYX= PYX= POX= BAX . Значит, точка Y лежит на окружности. Поэтому все точки P лежат на прямой, проходящей через точку B и точку пересечения с окружностью, построенной на OB как на диаметре.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	10
задача
Номер	5