Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1 и В1 соответственно так, что ВС1 = С1А1 = А1В1 = В1С.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника С1А1В1 лежит на биссектрисе угла А.
Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).
При повороте треугольника KLM на угол 120° вокруг точки Q, лежащей на стороне KL, вершина M переходит в вершину K, а вершина L – в точку N, лежащую на продолжении стороны LM за точку M. Найдите отношение площадей треугольников KLM и LNQ.
Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.
|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.
Решение
Проверка показывает, что из чисел n = 1, 2, 3, 4, 5 подходит только n = 3.
Докажем, что при n ≥ 6 сумма цифр числа 5n меньше чем 2n. Действительно, число 5n не более чем n-значно, поэтому сумма его цифр не превосходит 9n. С другой стороны, 2n ≥ 9n.
В самом деле, при n = 6 оно верно, а при увеличении n на единицу правая часть этого неравенства увеличивается на 9, а левая
– не менее чем на 64.
Ответ
n = 3.
