Задача 109543
|
|
 |
Условие
Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).
Решение 1
Рассмотрим выражение a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = a² + (b – 3)a + (b² – 3b + 3) как квадратный трёхчлен относительно a. Его дискриминант равен
– 3(b – 1)² и, следовательно, неположителен. Так как коэффициент при a² положителен, то трёхчлен принимает только неотрицательные значения, значит, a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1) при любых a и b. Равенство достигается тогда и только тогда, когда a = b = 1.
Решение 2
a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a – 1)(b – 1), а, как известно, выражение x² + xy + y² всегда неотрицательно.
Решение 3
2(a² + ab + b² – 3(a + b – 1)) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a + b – 2)² ≥ 0.
.