Задача 109544

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 11 ] [ Метод спуска ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Решение

  Если в десятичной записи числа есть цифра 0 или две одинаковые цифры, то, вычеркнув остальные цифры, мы получим число, кратное 11. Значит, искомое число не более чем девятизначное, и все его цифры различны. Наибольшее из таких чисел – 987654321. Докажем, что оно удовлетворяет условию задачи.
  После вычеркивания цифр из числа 987654321 получится число вида  a_k...a₂a₁,  в котором  a_k > ... > a₂ > a₁.  Вычитая из него кратное 11 число  a₁a₁  и стирая нули в конце, получим число такого же вида. Продолжая, в конце концов получим однозначное число, которое не кратно 11. Значит, и исходное число не делилось на 11.

Ответ

987654321.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	93.4.10.2
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	93.4.9.2