Задача 109556

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Решение

  Пусть плоскость CHD пересекается с прямой AB в точке E,  плоскость AHD с BC – в точке F, а плоскость BHD с CA – в точке G. Так как  CC₁ ⊥ AB  и
DD₁ ⊥ AB,  то  AB ⊥ CED,  то есть DE и CE – высоты треугольников ABD и ABC. Из аналогичных рассуждений для других рёбер следует, что точки A₁, B₁, C₁ и D₁ – ортоцентры граней тетраэдра ABCD. Из этого факта и из условия вытекает, что все грани данного тетраэдра являются остроугольными треугольниками. Как известно (см. задачу 52886), высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника, то есть ортоцентр остроугольного треугольника есть центр окружности, вписанной в ортотреугольник. Проведём через точку H плоскость α, параллельную плоскости ABC. Пусть α пересекается с прямыми DE, DF, DG, D₁C₁, D₁A₁, D₁B₁ соответственно в точках K, L, M, N₁, N₂, N₃ (рис. слева). Тогда сфера касается граней пирамиды D₁N₁N₂N₃, имеющих вершину D₁. Пусть X, Y, Z – точки касания (рис. справа).

         

  Поскольку  α || ABC,  H – центр вписанной окружности треугольника KLM. Прямоугольные треугольники D₁HX, D₁HY и D₁HZ равны по катету и гипотенузе. Из равенства углов XD₁H, YD₁H и ZD₁H следует равенство по катету и острому углу треугольников D₁HX₁, D₁HY₁ и D₁HZ₁, следовательно,  HX₁ = HY₁ = HZ₁,  то есть H – центр вписанной окружности треугольника N₁N₂N₃.
  Пусть  ∠MKL = 2θ,  ∠KLM = φ,  ∠LMK = ψ  (рис. слева). Тогда  ∠MHL = 90° + θ.  Если  ∠N₃N₁N₂ = 2θ₁,  то аналогично  ∠N₃HN₂ = 90° + θ₁ = ∠MHL,  следовательно,  θ₁ = θ,  значит,  N₁N₂ || KL.  Аналогично  N₂N₃ || LM  и  N₃N₁ || KM.  Из подобия треугольников следует, что
KN₁ : N₁H = LN₂ : N₂H = MN₃ : N₃H  и (рис. в центре)  KN₁ : N₁H = ED₁ : D₁C,  LN₂ : N₂H = FD₁ : D₁A,  MN₃ : N₃H = GD₁ : D₁B.  Значит,
ED₁ : D₁C = FD₁ : D₁A = GD₁ : D₁B.   (1)

                   

  По теореме о пересекающихся хордах (рис. справа)  ED₁·D₁C = FD₁·D₁A = GD₁·D₁B.   (2)
  Из (1) и (2) вытекает, что  ED₁ = FD₁ = GD₁,  а  D₁C = D₁A = D₁B,  то есть центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC совпадают, поэтому этот треугольник – правильный. Аналогично правильными треугольниками являются и остальные грани тетраэдра ABCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	94.5.11.7