Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли осветить круглую арену 100 прожекторами так, чтобы каждый из них освещал выпуклую фигуру, никакой из них не освещал всю арену, но любые два из них вместе уже освещали всю арену?

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S₂ в точке C и пересекает S₁ в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.

Решение

Решение I. Так как касательные к окружности S₂ в точках B и C параллельны, то BC – ее диаметр, и BFC=90^o . Докажем, что и AFB=90^o . Проведем через точку F общую касательную к окружностям (рис), пусть она пересекает прямую l в точке K . Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,
AFB= AFK+ KFB= FAB+ FBA==90^o.
Решение II. Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным - , где r₁ и r₂ – радиусы окружностей S₁ и S₂ . При этой гомотетии S₁ переходит в S₂ , а прямая l – касательная к S₁ – переходит в параллельную прямую – касательную к S₂ . Следовательно, точка A переходит в точку C , поэтому точка F лежит на отрезке AC .

Источники и прецеденты использования