Задача 109599

Темы:    [ Ограниченность, монотонность ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, a₃, ...,
что      делится на  a₁ + a₂ + ... + a_k  при всех  k ≥ 1.

Решение

Докажем, что для любых чисел  a₁, ..., a_n,  удовлетворяющих условию задачи, можно найти такое число a_n+1, что   
делится на  s_n+1 = a₁ + ... + a_n + a_n+1.  Из равенства     следует, что S_n+1 делится на s_n+1, если
  делится на s_n+1, поскольку  a_n+1 + s_n = s_n+1.  Таким образом, достаточно взять     – в этом случае     При этом  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	95.5.11.5