Задача 109619
|
|
 |
Условие
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Решение
Пусть a ≥ b ≥ c – числа, удовлетворяющие условиям задачи. Так как a² – 1 делится на b, числа a и b взаимно просты. Поэтому число c² – 1, которое по условию делится на a и на b, должно делиться и на их произведение, следовательно, c² – 1 ≥ ab ≥ c². Противоречие.
Ответ
Не существуют.
