|
|
 |
Условие
Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника
ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в
треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью
обозначим через Ka . Аналогично построим точки Kb
и Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки Ka ,
Kb и Kc с серединами сторон BC , CA и AB соответственно,
имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Решение
1. Докажем, что стороны треугольника KaKbKc параллельны соответствующим
сторонам треугольника ABC . Пусть AC>AB . Имеем POL=
KaOL
и
POB=
ROB (см. рис. 1) ,
поэтому
KaOR=2
LOB . Угол LOB внешний в треугольнике AOB ,
значит
KaOR=2(α /2+β /2)=α +β .
Случай AC<AB разбирается аналогично.
Подобными же
рассуждениями получаем, что
KbOR=α +β . Следовательно,
точки Ka и Kb симметричны относительно прямой OR , поэтому прямые
KaKb и AB параллельны.
Итак, соответствующие стороны треугольников MaMbMc и KaKbKc
параллельны ( Ma , Mb , Mc –
середины сторон треугольника), поэтому эти треугольники гомотетичны.
Центр этой гомотетии является общей точкой прямых MaKa , MbKb и
McKc .
2. Пусть прямая MaKa вторично пересекает вписанную в треугольник ABC окружность в точке T . Будем считать, что AC>AB . Докажем, что описанная вокруг треугольника TKaL окружность проходит через основание H высоты треугольника ABC . Для этого достаточно проверить выполнение равенства MaL· MaH=MaP2 , так как MaP2=MaKa· MaT (см. рис. 2) .
Это можно сделать, выразив длины отрезков MaP , MaL и MaH через стороны треугольника ABC . Мы докажем его, пользуясь известными свойствами точки P' касания со стороной BC соответствующей вневписанной окружности треугольника: точка P' симметрична P относительно Ma и отрезок AP' пересекает вписанную окружность в точке, диаметрально противоположной точке P . Поэтому прямые AP' и MaO параллельны ( O – центр вписанной окружности, см. рис. 3).
Пользуясь параллельностью прямых AH и OP , равенством MaP'=MaP и теоремой Фалеса, получаем
Так как четырехугольник TKaLH вписанный, углы MaTH и MaLKa равны. Угол MaLKa легко выражается через углы треугольника ABC :
Обозначим через K точку пересечения отрезка TMb со вписанной окружностью. Так как вписанный в окружность угол KaTK равен γ , а дуга RKa вписанной окружности равна α +β (это было доказано ранее), точки Ka и K симметричны относительно прямой OR . Но точки Ka и Kb , как отмечено ранее, также симметричны относительно этой прямой. Значит точки K и Kb совпадают, что означает, что прямые MaKa и MbKb пересекаются в точке T вписанной окружности.
Из доказанного следует известная теорема Фейербаха.
