Задача 109677
|
|
 |
Условие
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.Решение
Отметим углы параллелограммов, являющиеся частью углов многоугольника. Пусть в многоугольнике n сторон. Тогда сумма отмеченных углов равна 180o·(n-2) . К каждой стороне многоугольника примыкают стороной по два отмеченных угла (см. рис.) , их сумма, очевидно, не менее 180o . Просуммировав такие пары по всем сторонам, получим не менее 180o· n , т.е., по крайней мере на 360o больше, чем при подсчете другим способом. Избыток возникает за счет того, что некоторые углы посчитаны дважды, а именно те, которые примыкают сразу к двум сторонам. Поскольку каждый такой угол меньше 180o , то таких углов не менее трех. Но вершины таких углов как раз и являются хорошими вершинами многоугольника.
