Задача 109697
|
|
 |
Условие
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство x² + y³ ≥ x³ + y4. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2.
Решение
Допустим, что x + y² < x² + y³. Тогда, складывая это неравенство с неравенством x³ + y4 ≤ x² + y³, получим (x + x³) + (y² + y4) < 2x² + 2y³, что противоречит неравенствам x + x³ ≥ 2x² и y² + y4 ≥ 2y³.
Следовательно, x + y² ≥ x² + y³ ≥ x³ + y4, откуда 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y4. Замечая, что (1 + x²) + (1 + y4) ≥ 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y4, получаем неравенство 2 + x² + y4 ≥ x² + y³ + x³ + y4, равносильное требуемому.
