|
|
 |
Условие
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из
них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и
общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что
существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют
целые координаты.
Решение
Первое решение.
Рассмотрим любые 3 точки A , B и C , не лежащие на одной прямой (если все
точки будут лежать на одной прямой, то утверждение задачи очевидно). Пусть T1
– система координат, в которой эти точки имеют целые координаты.
Рассмотрим любую
из оставшихся точек, назовем ее D . Пусть T2 – система координат, в которой
точки B , C , D имеют целые координаты. Поскольку квадрат длины отрезка BC в
T1 и T2 будет целым, то отношение квадратов единиц измерения T1 и
T2 – рациональное число. Но скалярное произведение векторов
(,
) в T2 – целое, значит, в T1 оно рационально,
поскольку произведение длин этих векторов в T1 будет рационально относиться к
произведению их длин в T2 , а косинус угла не изменится.
Аналогично, (,
) рационально.
Пусть
в T1 – это (x,y) ,
– это (z,t) ,
– это (p,q) .
Тогда px+qy=m и pz+qt=n – рациональны, откуда
p=
, q=
– рациональные числа (поскольку
xt-yz
0 , так как A , B , C не лежали на одной прямой). Следовательно, точка
D в T1 имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения,
можно координаты всех точек сделать целыми.
Второе решение.
Как и в первом решении, можно считать, что в нашем множестве найдутся точки A ,
B , C , не лежащие на одной прямой. Докажем, что tg BAC – либо
рациональное число, либо не существует.
Рассмотрим координаты этих точек в системе,
соответствующей тройке A , B , C . Если xA=xB (случай xA=xC аналогичен),
то tg BAC=
рационален (или не существует). Если
же xB
xA и xC
xA , то числа p=
и q=
рациональны.
Но p= tgα ,
q= tgβ , где α и β – углы, образуемые лучами AB и AC с
положительным направлением оси Ox , поэтому из формулы tg
CAB= tg(β-α)=
следует рациональность
tg
BAC (или тангенс не существует,
если pq=-1 ). Аналогично, рациональными являются тангенсы углов
всех треугольников с вершинами в данных точках.
Рассмотрим систему координат с
центром A и единичным вектором по оси Ax , равным . Для любой точки D
нашего множества tg
DAB и tg
DBA рациональны, поэтому
уравнения прямых AD и BD имеют рациональные коэффициенты. Тогда и точка D
имеет рациональные координаты. Изменив масштаб, мы получим целочисленные координаты
у всех точек.
