ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109766  (#02.5.9.1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108135  (#02.5.9.2)

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O1, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O2, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если  O1A = O2A,  то треугольник ABC равнобедренный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109768  (#02.5.9.3)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Лифшиц Ю.

На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109769  (#02.5.9.4)

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Лифшиц Ю.

Гидры состоят из голов и шей (каждая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем N ударов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109770  (#02.5.9.5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .