Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 24]
Задача
109765
(#02.5.10.8)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет
параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит
прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
Задача
109759
(#02.5.11.1)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P² + Q² = R². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Задача
109753
(#02.5.11.2)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из
них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и
общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что
существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют
целые координаты.
Задача
109754
(#02.5.11.3)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что для всех
x
(0
;
)
при
n>m , где
n,m – натуральные, справедливо неравенство
2| sinn x- cosn x|
3| sinm x- cosm x|;
Задача
109755
(#02.5.11.4)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами
соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все
соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во
второй, либо наоборот).
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
