ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109765
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Раскраски ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.


Решение

  Предположим противное. Заметим, что через каждую точку пересечения двух прямых проходит красная прямая. Рассмотрим синюю прямую l; пусть A, B – две наиболее удалённые друг от друга точки пересечения l с красными прямыми, m и n – красные прямые, проходящие через A и B, C – точка пересечения m и n. Тогда через C проходит синяя прямая p, которая пересекает l в какой-то точке D отрезка AB, иначе A и B – не наиболее удалённые (рис. слева).

           
  Рассмотрим все четвёрки прямых l', m', n', p', расположенных как l, m, n, p (l', p' – одного цвета; m', n' – другого; m', n', p' пересекаются в одной точке; точка пересечения p' и l' лежит между точками пересечения l' с m' и n'), и рассмотрим среди них такую, в которой прямые l', m', n' образуют треугольник наименьшей площади (рис. справа). Тогда через точку D' проходит прямая q', одноцветная с m'. Она пересекает либо отрезок B'C', либо A'C' (пусть, для определенности, B'C'). Тогда прямые n', l', p', q' образуют конфигурацию с треугольником меньшей площади. Противоречие.

Замечания

Найти хотя бы одну пару прямых l, m, n, p можно бы было и по-другому: взять какую-нибудь четвёрку прямых l, m, n, p нужных цветов (так, чтобы m, n, p пересекались в одной точке) и проективным преобразованием добиться того, чтобы точка D пересечения p и l лежала между A и B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.5.10.8
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 02.5.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .