ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109759
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  P² + Q² = R².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.


Решение

  Из условия следует, что R и один из многочленов P и Q – третьей степени. Пусть, например, R и Q – третьей степени, а P – второй. Поменяв, если нужно, знаки многочленов на противоположные, можно считать, что коэффициенты при x³ у R и Q положительны. Тогда из равенства
P² = R² – Q² = (R + Q)(R – Q),  где  R + Q  – третьей степени, следует, что  R – Q  – первой степени, то есть  R – Q = c(x – x1),  c > 0  (коэффициент при x4 у P² положителен). Тогда P, а значит, и  R + Q  делятся на  x – x1.  Так как и  R – Q  делится на  x – x1,  то R и Q делятся на  x – x1,  то есть  R = (x – x1)R1,
Q = (x – x1)Q1,  где R1 и Q1 – квадратичные функции с положительными коэффициентами при x². При этом  R1Q1 = c,  R1 = Q1 + c.
  Пусть  P = a(x – x1)(x – x2).  Тогда  a²(x – x2)² = (2Q1 + c)c,  то есть     – трёхчлен, имеющий два действительных корня. Значит, Q имеет три действительных корня.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.5.10.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 02.5.11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .