Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
109761
(#02.5.10.3)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого натурального числа n > 10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < m – n < 3 
.
Задача
109762
(#02.5.10.4)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
Задача
109763
(#02.5.10.5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что 
Задача
109771
(#02.5.10.6)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Имеются одна красная и k (k > 1) синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими
операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?
Задача
108138
(#02.5.10.7)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
