|
|
 |
Условие
Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть A1, B1 и C1 – точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Через точку A1 проведём прямую a1, параллельную биссектрисе угла A. Поскольку треугольник B1AC1 равнобедренный, то биссектриса его угла при вершине A перпендикулярна основанию B1C1, значит, и прямая a1 перпендикулярна B1C1. Поэтому высота треугольника A1B1C1 лежит на прямой a1.
Пусть A0, B0 и C0 – середины сторон BC, AC и AB соответственно. Поскольку при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом –½ треугольник ABC переходит в треугольник A0B0C0, то биссектрисы углов A и B0A0C0
параллельны.
Пусть S – точка пересечения биссектрис треугольника A0B0C0. При симметрии относительно точки S прямая a1 перейдёт в прямую
a (прямые a1, a и A0S параллельны, а точки A1 и A' прямых a1 и a равноудалены от точки A0 прямой
A0S – см. задачу 55404). Аналогично для прямых b1 и b, c1 и c.
Таким образом, при этой симметрии каждая из высот треугольника A1B1C1 перейдёт в соответствующую ей прямую a, b и c. Следовательно, эти прямые пересекутся в точке, симметричной ортоцентру треугольника A1B1C1 относительно точки S.
