На витрине ювелирного магазина лежат 15 бриллиантов. Рядом с ними стоят таблички с указанием масс, на которых написано 1, 2, ..., 15 карат. У продавца есть чашечные весы и четыре гирьки массами 1, 2, 4 и 8 карат. Покупателю разрешается только один тип взвешиваний: положить один из бриллиантов на одну чашу весов, а гирьки — на другую и убедиться, что масса на соответствующей табличке указана верно. Однако за каждую взятую гирьку нужно заплатить продавцу 100 монет. Если гирька снимается с весов и в следующем взвешивании не участвует, продавец забирает её. Какую наименьшую сумму придётся заплатить, чтобы проверить массы всех бриллиантов?

   Решение

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Метод координат на плоскости ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Решение 1

Рассмотрим семь пар ладей, стоящих в соседних столбцах. Разности их координат по вертикали лежат на отрезке  [1, 7],  поэтому либо две из них совпадают (и тогда расстояния в соответствующих парах тоже совпадают), либо среди них есть все числа от 1 до 7. В частности, есть две ладьи, отстоящие друг от друга на 2 по вертикали и на 1 по горизонтали (пара A). Аналогично либо найдутся две пары в соседних строках с равным расстоянием, либо есть две ладьи, отстоящие друг от друга на 1 по вертикали и на 2 по горизонтали (пара B). Тогда расстояния в парах A и B совпадают, а сами эти пары различны.

Решение 2

Квадраты расстояний между ладьями могут принимать значения от  1² + 1²  до  7² + 7².  Всего таких различных чисел  7·8 : 2 – 1 = 27,  поскольку
1² + 7² = 5² + 5².  А пар ладей больше:  8·7 : 2 = 28.  Значит, какие-то два расстояния совпадают.

Источники и прецеденты использования