|
|
 |
Условие
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что ∠BDM = ∠BEM = ∠B. Докажите, что BT ⊥ DE.
Решение
Так как D и E лежат на сторонах, то B –
наибольший угол треугольника ABC; поэтому ∠AOC = 2∠B ≥ 120°, и точки O и T лежат по разные стороны от AC.
Пусть прямые ME и MD пересекают AB и BC соответственно в точках X и Y (см. рис.).
Из остроугольности очевидно следует, что X и Y лежат на продолжениях отрезков BA и BC за точки A и C соответственно. Заметим, что
∠DXM = 180° – ∠ABE – ∠BEM = 180° – 2∠B, аналогично, ∠EYM = 180° – 2∠B, поэтому четырёхугольник DEYX – вписанный и ∠BED = ∠BXY.
∠ATM = 2∠ACO (точки O, M, T лежат на серединном перпендикуляре к AC, T – центр описанной окружности треугольника AOC). Значит,
∠ATM = 2(90° – ∠ MOC) = 2(90° – ∠B) = ∠AXM.
Поэтому AMTX – вписанный четырёхугольник. Так как ∠AMT = 90°, то ∠AXT = 90°. Аналогично ∠CYT = 90°. Следовательно, четырёхугольник BXTY также вписанный, и ∠TBY = ∠ TXY = 90° – ∠BXY. Отсюда ∠BED + ∠TBE = ∠BXY + (90° – ∠
BXY) = 90°, что и требовалось.
