|
|
 |
Условие
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Решение
Первый способ. Пусть наше множество содержит иррациональное
число a. Тогда каждое из остальных чисел имеет вид либо p – a, либо p/a, где p рационально. Покажем, что чисел вида p – a не больше двух. Пусть b1 = p1 – a, b2 = p2 – a, b3 = p3 – a, тогда число b1 + b2 = (p1 + p2) – 2a не рационально, значит, число b1b2 = p1p2 – a(p1 + p2) + a² рационально. Аналогично рациональны числа b1b3, b2b3. Отсюда следует, что рациональны числа
A3 = a² – a(p1 + p2), A2 = a² – a(p1 + p3), A1 = a² – a(p2 + p3). Значит, число A3 – A2 = a(p3 – p2) рационально, что возможно только при p3 = p2, то есть
b3 = b2. Противоречие.
Следовательно, чисел второго вида больше двух, пусть c1 = q1/a, c2 = q2/a, c3 = q3/a – такие числа. Сумма c1 + c2 = q1+q2/a может быть рациональной только при q2 = – q1. Но q3 ≠ q2, значит, сумма c1 + c3 = q1+q3/a иррациональна. Тогда число c1c3 = q1q2/a² рационально, откуда a² рационально.
Второй способ. Рассмотрим произвольные шесть чисел из нашего набора. Построим граф с шестью вершинами, соответствующих этим числам; вершины соединены синим ребром, если сумма соответствующих чисел рациональна, и красным ребром, если произведение соответствующих чисел рационально. В этом графе найдется одноцветный треугольник (см. задачу 30815). Рассмотрим два случая.
1) Нашёлся синий треугольник, то есть нашлись такие три числа x, y, z, что x + y, x + z, y + z рациональны. Тогда рационально и число
(x + y) + (x + z) – (y + z) = 2x . Аналогично рациональны числа 2y и 2z. Рассмотрим любое из оставшихся чисел t. Из рациональности любого из чисел
xt и x + t следует рациональность числа t (все числа по условию отличны от нуля). То есть все числа набора рациональны.
2) Нашёлся красный треугольник, то есть нашлись такие три числа x, y, z, что xy, xz, yz рациональны. Тогда число (xy)(xz)/yz = x² рационально. Аналогично рациональны числа y² и z². Если хотя бы одно из чисел x, y, z рационально, то аналогично предыдущему случаю получаем рациональность всех чисел набора.
Пусть где a рационально, m = ± 1. Так как число
рационально, то
где c рационально. Рассмотрим любое из оставшихся чисел t. Если xt или yt рационально, то аналогично предыдущему
где d рационально, то есть t² рационально.
Если же рациональны числа x + t и y + t, то рационально число Но это не так. Противоречие.
То есть в любом случае квадраты всех чисел набора рациональны.
Замечания
Утверждение задачи верно при любом количестве чисел, большем 4.
