Задача 109838

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Иррациональные неравенства ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что sin< при 0<x< .

Решение

При x1 имеем 1 x< . Отсюда sin sin x . Далее, поскольку 0< sin x<1 , имеем sin x< . Пусть 0<x<1 . Перепишем неравенство: sin²t< sin(t²) при 0<t<1 . Так как sin²0= sin(0²) , то достаточно доказать ( sin²t)'<( sin(t²))' , или 2 sin t cos t<2t cos(t²) . Поскольку >t>t²>0 , то cos t< cos (t²) . Перемножив это неравенство и sin t<t , получим sin t cos t<t cos(t²) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.5.11.1