Задача 109847

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Филимонов В.П.

Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .

Решение

Обозначим через D и E точки касания σ со сторонами AB и AC , DE|| BC из симметрии относительно биссектрисы угла BAC (см. рис.).
Пусть при гомотетии с центром A и коэффициентом окружность σ переходит в окружность σ' . Окружность σ' проходит через точку K , а следовательно, и через L (из симметрии относительно биссектрисы угла BAC ), а также σ' касается лучей AB и AC в некоторых точках D' и E' .

Из гомотетии следует, что MD|| KD' . Далее, по теореме о произведении отрезков касательных BD²=BK· BL = BD'² , откуда BD=BD' . По построению BK=BP , поэтому DKD'P – параллелограмм, и значит, PD|| KD' . Отсюда вытекает, что точки M , D , P лежат на одной прямой. Аналогично, M , E и Q лежат на одной прямой. Треугольники MDE и MPQ гомотетичны с центром M , следовательно, их описанные окружности также гомотетичны, т.е. касаются в точке M .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.5.10.4