|
|
 |
Условие
На столе лежат n спичек (n > 1). Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до n – 1, а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все n, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
Решение
Если n нечётно, то первый выигрывает, взяв первым ходом одну спичку: дальше оба игрока обязаны брать по одной спичке, и последний ход за первым игроком.
Если n чётно, то тот, кто первым взял нечётное число спичек, проиграл, ибо оставил партнеру нечётное число спичек при его ходе. Поэтому, чтобы сохранить шансы на выигрыш, игроки должны каждым ходом брать чётное число спичек. Но это значит, что можно мысленно соединить спички в пары и считать, что игроки каждым ходом берут некоторое количество пар. При этом возможны следующие варианты.
1) n = 2. Тогда первый проиграл, потому что взять две спички сразу он не может.
2) n = 4m + 2. Тогда первый выиграет, взяв первым ходом одну пару.
3) n = 4m , то есть число пар чётно. Чтобы сохранить шансы на выигрыш, игроки должны каждым ходом брать чётное число пар. Но тогда можно объединить пары в четверки и считать, что каждым ходом берётся
некоторое количество четверок. Проводя теперь для четвёрок те же рассуждения, что и для пар, получаем, что при n = 4 первый проигрывает, при n = 8m + 4 – выигрывает, а при n = 8m надо переходить к восьмёркам. Повторяя далее эти рассуждения, получаем, что при n = 2, 4, 8, 16, ...
первый проигрывает, а при других n – выигрывает.
Ответ
n ≠ 2k (k ∈ N).
