|
|
 |
Условие
Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины ,
переводящихся один в другой при центральной симметрии.
Пусть ϕ – множество середин отрезков, концы
которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры ϕ .
Решение
Пусть O – центр симметрии, KLMN и K1L1M1N1
– данные тетраэдры ( K и K1 , L и L1 ,
M и M1 , N и N1 – пары симметричных
относительно точки O вершин).
Параллельный перенос первого
тетраэдра на вектор , а второго – на вектор
-
не изменяет ϕ . Действительно, пусть P
и Q – две произвольные точки тетраэдров, X –
середина отрезка PQ ,
=
,
=-
, тогда
+
=
+
+
+
=
-
+(
+
)+
=
, значит,
X – середина отрезка P'Q' .
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер
правильного тетраэдра с ребром , перпендикулярен
им и имеет длину 1. Поэтому можно выбрать куб
ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 и центром O и параллельный
перенос
, переводящий первый тетраэдр в тетраэдр
T1=ACB1D1 . Параллельный перенос на вектор -
переведет
второй тетраэдр в симметричный T1 тетраэдр T2=C1A1DB .
Итак, фигура ϕ состоит из середин отрезков, концы
которых лежат в тетраэдрах ACB1D1 и C1A1DB .
Пусть U – многогранник, изображенный на рис. 1
тонкими линиями, его вершины – середины ребер куба.
Покажем, что ϕ=U .
Рис. 1 Рис. 2
Лемма. Множество ϕ середин отрезков, концы которых принадлежат выпуклым фигурам ϕ1 и ϕ2 выпукло.
Доказательство. Пусть M и N – середины отрезков EF и GH , где E,G
Из леммы следует, что искомая фигура ϕ выпукла.
Но все вершины многогранника U лежат в ϕ (например, Q – середина AA1 ), поэтому Uϕ . Теперь заметим, что множество середин отрезков [GH] , где H
Аналогично, исключив остальные пирамидки, получаем, что ϕ=U .
Таким образом, V(ϕ)=1-8V(APQR)=1-
Ответ
.
