Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?
б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?
Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?
В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.
Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A1A2...A1998. Из середины стороны A1A2 выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A2A3, A3A4, ..., A1998A1 (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.
В последовательности натуральных чисел {an}, n = 1, 2, ..., каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных n и m выполнено неравенство Докажите, что тогда |an – n| < 2000000 для всех натуральных n.
|
|
 |
Условие
В последовательности натуральных чисел {an}, n = 1, 2, ..., каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных n и m выполнено неравенство Докажите, что тогда |an – n| < 2000000 для всех натуральных n.
Решение
Из неравенства в условии следует, что все члены последовательности попарно различны.
Лемма. Если i > n и ai < an, то i – n < 2000000.
Доказательство. Отрезок [1, an]
содержит лишь конечное число членов последовательности, значит, все ak с достаточно большими номерами k будут больше an. При возрастании индекса от i до бесконечности найдётся такое j, что aj < an < aj+1. Расстояние между aj и aj+1 по условию меньше 1998, поэтому либо an – aj < 999, либо aj+1 – an < 999. . В первом
случае, |j – n| < 1998(an – aj) < 1998·999, значит, i ≤ j < n + 1998·999 < n + 2·106, во втором
аналогично i < j < n – 1 + 1998·999 < n + 2·106.
По условию в последовательности встречаются все натуральные числа, значит, an равно числу членов последовательности, лежащих на отрезке [1, an]. Член последовательности, лежащий на отрезке [1, an], имеет индекс не больше n или больше n, количество первых не более n, количество вторых, по доказанному, меньше 2·106. Значит, an < n + 2·106. С другой стороны, также по доказанному, если i < n – 2·106, то ai < an, значит, в отрезке [1, an] содержится больше n – 2·106 членов последовательности. Таким образом, n – 2·106 < an < n + 2·106, откуда |an – n| < 2·106.
