ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109944
Темы:    [ Системы точек ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Решение

Пусть A и B – любые две точки данного множества M , расстояние между которыми равно диаметру d этого множества. Тогда из определения диаметра следует, что если P M , то P лежит внутри или на границе линзы, образованной пересечением кругов радиуса d с центрами A и B (см. рис.) . Докажем, что на одной из дуг AKC и BLD нет точек множества M , т.е. что если K A , L B , то KL>d . Действительно, если BAK=α , LAK=β , то β>α , и из теоремы косинусов получаем

KL2=AK2+d2-2AKd cosβ>d2,

так как AK=2d cosα>2d cosβ . Пусть, например, на дуге AC нет точек множества M за исключением точки A . Тогда, выбросив точку A и разделив оставшееся множество точек на части по прямой AB , получим искомое разбиение, добавив точки прямой AB к левой части, так как в каждой половине линзы только расстояния от границ до точек A или B могут равняться d .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 98.4.10.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .