Задача 109944

Темы:    [ Системы точек ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Решение

Пусть A и B – любые две точки данного множества M , расстояние между которыми равно диаметру d этого множества. Тогда из определения диаметра следует, что если P M , то P лежит внутри или на границе линзы, образованной пересечением кругов радиуса d с центрами A и B (см. рис.) . Докажем, что на одной из дуг AKC и BLD нет точек множества M , т.е. что если K A , L B , то KL>d . Действительно, если BAK=α , LAK=β , то β>α , и из теоремы косинусов получаем

KL²=AK²+d²-2AKd cosβ>d²,
так как AK=2d cosα>2d cosβ . Пусть, например, на дуге AC нет точек множества M за исключением точки A . Тогда, выбросив точку A и разделив оставшееся множество точек на части по прямой AB , получим искомое разбиение, добавив точки прямой AB к левой части, так как в каждой половине линзы только расстояния от границ до точек A или B могут равняться d .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	98.4.10.3
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	98.4.11.3