Задача 109997

Темы:    [ Непрерывные функции (общие свойства) ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Решение

Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:
(i) сумма и разность непрерывных функций – непрерывные функции;
(ii) если g(x) – непрерывная функция, функция g(ax) также непрерывна.
Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x)+f(2x) и f(x)+f(4x) , а в силу свойства (ii) вместе с функцией f(x)+f(2x) непрерывна и функция f(2x)+f(4x) . Далее, по свойству (i) непрерывна функция

(f(x)+f(2x))+(f(x)+f(4x))-(f(2x)+f(4x))=2f(x),
а, значит, и функция f(x) .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	99.4.11.1