Задача 109997
|
|
 |
Условие
О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что
при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите,
что f(x) также непрерывна на всей прямой.
Решение
Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:
(i)
сумма и разность непрерывных функций – непрерывные функции;
(ii)
если g(x) – непрерывная функция, функция g(ax) также непрерывна.
Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x)+f(2x) и
f(x)+f(4x) , а в силу свойства (ii) вместе с функцией f(x)+f(2x) непрерывна
и функция f(2x)+f(4x) . Далее, по свойству (i) непрерывна функция
а, значит, и функция f(x) .
