Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Внутри клетчатого прямоугольника периметра 50 клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра 32 клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик 1 × 1 — это тоже полоска!)
Решение
|
|
 |
Условие
При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
Решение
Заметим, что при n = 2000 = 40·49 + 40 требуемое разрезание существует (рис. слева).
Допустим, что найдётся квадрат n×n, где n < 2000, удовлетворяющий условию. Тогда в нём можно выбрать столбец (строку), пересекающий как квадрат 40×40, так и квадрат 49×49; таковым, например, окажется один из выделенных на рисунке справа трёх рядов.
Пусть в выбранном ряду a квадратов 40×40 и b квадратов 49×49. Тогда 40a + 49b = n, где a ≥ 1 и b ≥ 1.
Пусть i-й столбец (1 ≤ i ≤ n) квадрата n×n пересекается с ai квадратами 40×40 и bi квадратами 49×49. Тогда из равенства
40(ai – a) + 49(bi – b) = 0 следует, что ai – a делится на 49, bi – b делится на 40, и если ai ≠ a, то bi ≠ b. В этом случае, если b < 40, то bi ≥ 41 и n ≥ 2009, а если b ≥ 40, то
n ≥ 49·40 + 40 = 2000, так как a ≥ 1.
Значит, если n < 2000, то для всех i, 1 ≤ i ≤ n, ai = a, bi = b. Следовательно, первый столбец пересекается с a квадратами 40×40 и первые 40 столбцов с другими квадратами 40×40 не пересекаются.
Аналогично следующие a квадратов 40×40 целиком содержатся в столбцах 41–80. Тогда следующие квадраты 49×49 располагаются в столбцах 50–98, и т.д. до столбца с номером 40·49. Далее можно отрезать первые 40·49 столбцов и повторить рассуждение с оставшимися.
В итоге получаем, что n делится на 40·49, то есть n = k·40·49. Но уравнение 40a + 49b = 40·49 при a ≥ 1, b ≥ 1 целых корней не имеет. Значит,
n ≥ 2·40·49 > 2000. Противоречие.
Ответ
n = 2000.
