Задача 110086

Темы:    [ Четырехугольная пирамида ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.

Решение

Пусть SO – высота пирамиды, тогда прямые, содержащие высоты SO , AA1 и CC1 треугольника ASC , проходят через одну точку H1 (На рисунке Δ ASC – остроугольный. Решение не изменится, если он – тупоугольный. Заметим, что прямоугольным он быть не может). Сечение данной в условиях задачи сферы σ плоскостью ASC – окружность, проходящая через точки S , A1 и C1 , т.е. окружность с диаметром SH1 , так как углы H1A1S и H1C1S – прямые. Значит, точка H1 прямой SO лежит на σ . Аналогично, H2σ , где H2 – точка пересечения прямых SO , BB1 и DD1 . Из того, что H1 S и H2 S , следует, что H1=H2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	02.4.11.2