ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110097
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На оси Ox произвольно расположены различные точки  X1, ..., Xnn ≥ 3.  Построены все параболы, задаваемые приведёнными квадратными трёхчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие ееё в других точках). Пусть  y = f1(x),  ...,  y = fm(x)  – соответствующие параболы. Докажите, что парабола  y = f1(x) + ... + fm(x)  пересекает ось Ox в двух точках.


Решение 1

  По условию  f1(x) = (x – x1)(x – x2),   f2(x) = (x – x1)(x – x3),  ...,   fn–1(x) = (x – x1)(x – xn),   fn(x) = (x - x2)(x – x3),  ...,   fm(x) = (x – xn–1)(x – xn),  где xi – координата точки Xi. Поэтому   f1(x) + ... + fm(x) = (½ n(n – 1)x² – (n – 1)(x1 + x2 + ... + xn)x + (x1x2 + x1x3 + ... + xn–1xn)).  Найдем дискриминант этого трёхчлена:

   


Решение 2

  Прибавив к удвоенной сумме  2S = 2(f1(x) + ... + fm(x)) слагаемые  y1 = (x – x1)²,  ...,  yn = (x – xn)²,  получим
2S1 = ((x – x1) + (x – x2) + ... + (x – xn))² = (nx – (x1 + ... + xn))².
  Видно, что S1 обращается в ноль в точке  x0 = 1/n (x1 + ... + xn).  Но  S < S1,  так как  yi ≥ 0  и не более одного числа из yi может равняться нулю. Значит,  S(x0) < 0,  что и доказывает утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.4.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .