Задача 110107
|
|
 |
Условие
Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).
Решение
Предположим противное: ни у какой клетки нет ровно двух одноцветных соседей по углу. Рассмотрим четыре нижних ряда и посмотрим на клетку №1 (см. рис.) – у неё два соседа, следовательно, они разного цвета. Рассмотрим клетку №2, у неё четыре соседа, два из них разного цвета, следовательно, два других – одного цвета. Рассмотрим клетку №3. Она имеет двух одноцветных соседей, поэтому два других её соседа – разного цвета (если все соседи клетки №3 одинакового цвета, то у клетки №6 – два одноцветных соседа). Продолжая рассуждать таким образом, получим, что оба соседа клетки №5 – одного цвета. Противоречие.
