Условие
Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в
какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди.
Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета.
Кто выигрывает при правильной игре?
Решение
Занумеруем коробки:
1
,..,11
и будем обозначать ход номером той коробки, куда мы не клали монету.
Можно считать, что первый игрок начал игру ходом 1.
Чтобы победить, второму надо, независимо от игры первого, сделать ходы
2
,..,11
. Этими десятью ходами вместе с ходом первого в каждую коробку
будет положено по 10 монет. Кроме того, найдется коробка (назовем ее
A ),
в которую первый каждым своим ходом со 2 по 11 клал по монете.
Тем самым, после 11 хода первого в коробке
A окажется 20 монет,
и ни в какой коробке не окажется больше.
Второй игрок своим 11-м ходом должен положить монеты так, чтобы в коробку
A
попала монета. Тем самым, он выигрывает.
Ответ
Выигрывает второй.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2002 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
02.4.8.3 |
