Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

   Решение

---

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

   Решение

---

Найдите наибольшее значение функции y = 16x-4 sin x+8 на отрезке [-;0] .

   Решение

---

Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?

   Решение

---

Три равные окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник с вершинами в остальных точках попарного пересечения окружностей равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.

   Решение

---

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

Решение

α=+ .
Первое решение. Из совпадения наборов следует, что

sin x+ sin2x+ sin3x= cos x+ cos2x+ cos3x, т.е.cr sin 2x(1+2 cos x)= cos2x(1+2 cos x).

1. 1+2 cos x=0 cos x=- x=+2π n sin3x=0 , но 0 не принадлежит { cos x, cos2x, cos3x} .
2. sin2x= cos2x tg2x=1 , x=+ . Наборы совпадают, так как 3x+x=+2π n cos3x= sin x , sin 3x= cos x .

Второе решение. Сложим 3 единичных вектора, образующих с осью Ox углы α , 2α , 3α соответственно. По условию у получившегося вектора равны координаты по x и по y , так как это суммы одних и тех же трех чисел. Значит, этот вектор, если он не равен нулю, направлен вдоль прямой, образующей угол π/4 с осью Ox . Но направление суммы трех векторов совпадает с направлением вектора, образующего угол 2α , поскольку два других симметричны относительно него.
Итак, 2α=+π k , откуда α=+ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что все углы указанного вида подходят.

Осталось рассмотреть случай, когда сумма трех единичных векторов равна нулю. Нетрудно видеть, что это возможно лишь если углы между ними равны , откуда α=+π k или α=+π k . Легко видеть, что тогда sin3α=0 , cosα0 , cos2α0 и cos3α0 .

Источники и прецеденты использования