Задача 110151

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Решение

Для любого треугольника T с углами α , β , γ обозначим f_n(T)= sin nα + sin nβ + sin nγ.

Лемма. Пусть x+y+z=π k , где k . Тогда

| sin x| | sin y|+| sin z|.
При y π l , z π l , где l , это неравенство – строгое.
| sin x|=| sin(y+z)|=| sin y cos z+ sin z cos y| | sin y|· | cos z|+| sin z|· | cos y|| sin y|+| sin z|.
При yπ l , z π l , где l , последнее неравенство строгое.

Из леммы следует, что знак функции f_n(T) определяется двумя синусами, имеющими одинаковые знаки: если, например, sin nα >0 , sin nβ >0 , то f_n(T) sin nα + sin nβ -| sin nγ|>0.

Очевидно, f₁(T)>0 . Для любого (не обязательно остроугольного) треугольника T справедливо и неравенство f₂(T)>0 .
В самом деле, если α < , β < , то sin 2α >0 , sin2β >0.

Пусть n=3. Рассмотрим равнобедренные остроугольные треугольники с углами α и β при основании: при изменении x=α =β от до величина 3x меняется от до . Следовательно, sin 3x (а вместе с ним и f(T) ) принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пусть n=4, α β γ . Поскольку треугольник остроугольный, β > (если β , γ , то α ). Значит, π<4β 4α <4· =2π , откуда sin4α <0 , sin4β <0 . Вследствие леммы f₄(T)<0.

Пусть n>4. Рассуждая как в случае n=3 , получаем: при изменении x=α =β от до величина y=nx пробегает интервал, длина которого больше π . Следовательно, найдутся точки x₁ и x₂ такие, что sin nx₁>0 , sin nx₂<0 .

Отсюда f_n(T₁)>0 , f_n(T₂)<0 , где T₁ и T₂ – треугольники, соответствующие x₁ и x₂.

Ответ

4.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	04.4.11.7