Задача 110155
|
|
 |
Условие
Уравнение xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.
Решение
Пусть an–1 и an имеют общий простой делитель p, то есть an–1 = pm, an = pk. Пусть x1, x2, ..., xn – корни уравнения. По формулам Виета
x1x2...xn = ± an = ± pk, x1x2...xn–1 + x1x2...xn–2xn + ... + x2 x3...xn = ± an–1 = ± pm.
Из первого равенства вытекает, что один из корней (пусть x1) делится на p. Тогда во втором равенстве все слагаемые левой части, кроме x2x3...xn, делятся на p. Значит, x2x3...xn также делится на p, то есть хотя бы один из корней x2, x3, ..., xn не взаимно прост с x1. Противоречие.
