Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности , описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности .
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
В треугольнике ABC взята такая точка O, что ∠COA = ∠B + 60°, ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°. Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Набор пятизначных чисел {N1 , Nk} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N1 , Nk . Найдите наименьшее возможное значение k .
|
|
 |
Условие
Набор пятизначных чисел {N1 , Nk} таков, что любое
пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в
одном разряде хотя бы с одним их чисел N1 , Nk .
Найдите наименьшее возможное значение k .
Решение
Набор с указанными свойствами не может состоять из одного числа. В самом деле: для
каждого N= имеется различающееся с N во всех разрядах число
G=
, где g – цифра, отличная от
нуля и от a , b , c , d , e . Покажем, что числа
N1= 13579 и N2= 12468 образуют набор, удовлетворяющий условиям задачи.
Пусть A= – произвольное число, для цифр которого
выполнены неравенства 1
a1
a2
a3
a4
a5 .
Тогда, если A не совпадает в разряде
единиц ни с N1 , ни с N2 , то a5 7 и, следовательно, a4
7 ;
если при этом нет совпадений и в разряде десятков, то a4
5 и a3
5 .
Если, кроме того, нет совпадений и в разряде сотен, то a3 3 ,
откуда a2
3 ; предположив еще, что a2
2 и a2
3 , придем к
равенству a1 =1 , означающему совпадение A с N1
(и с N2 ) в самом старшем разряде.
Ответ
2.00
