Задача 110157
|
|
 |
Условие
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и
B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены
соответственно касательные l1 и l2 .
Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2
так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке).
Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 .
Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности
σ 2 пересекает l1 в точке M2 .
Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой,
не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Решение
Совершим гомотетию с центром в точке A и положительным коэффициентом k , переводящую окружность σ 1 в окружность σ 1' , равную σ 2 .
Условимся образы точек и прямых при этой гомотетии обозначать штрихами.
Пусть B1 – вторая (отличная от A ) точка пересечения σ 1' и σ 2 .
Окружности σ 1' и σ 2 симметричны относительно прямой AB1 , причем при этой симметрии T1' переходит в T2 , t1' переходит в t2 , и M1' переходит в M2 . Таким образом, AM2=AM1'=kAM1 ( k не зависит от положения точек T1 и T2 ).
Тогда все треугольники AM1M2 гомотетичны с центром A (так как точки M1 и M2 лежат на прямых l1 и l2 , проходящих через A , по разные стороны от прямой AB1 , и отношение AM2:AM1 постоянно).
Отсюда следует, что середины отрезков M1M2 лежат на фиксированной прямой, проходящей через точку A .
