Условие
Мишень "бегущий кабан" находится в одном из n окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты
занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить
мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если
мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на
одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое
наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?
Решение
Занумеруем окошки слева направо числами от 1 до n , а через ki обозначим номер окошка,
в которое делается i -й по счету выстрел ( i = 1 , 2, 3, ...).
Серия из [
]+1 выстрелов, определенная равенствами
k[]+1=n и ki =2i-1 для i
[] ,
гарантирует поражение мишени (легко проверить, что если вначале мишень
находится в m -м окошке и m[] , то
результативным окажется m -й выстрел; если же m>[
] , то мишень будет поражена последним выстрелом).
Покажем, что никакая серия из меньшего числа выстрелов требуемым свойством не обладает.
В самом деле, если произведено не более [] выстрелов,
то для m=1 , 2, []+1 условием поражения мишени,
находившейся вначале в m -м окошке, является равенство ki =m + i-1
хотя бы для одного из значений i . Но каждый выстрел может обеспечить
выполнение только одного из требующихся равенств. Следовательно, найдется
такое число m0[]+1 , что ki
m0 + i-1 для
i=1 , 2, [] ; это и означает, что для
произвольной серии из [] (и, тем более, из меньшего
числа) выстрелов существует начальное положение мишени, при котором она
останется непораженной.
Ответ
[]+1.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2004 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
04.4.9.8 |
