ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110168
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Куб ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Садыков Р.

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?


Решение

  Предположим, что такая расстановка чисел существует.
  Пусть числа, стоящие в начальном и конечном угловых кубиках равны a и b соответственно. Можно считать, что  a < b.  Также можно считать, что каждый червяк не заползает в каждый кубик больше одного раза.
  Тогда первый червяк должен последовательно проползти через кубики с числами  a,  a + 8,  a + 16,  a + 24,  ...,  a + 72,  ...,  b  (очевидно он делает больше 10 "ходов"), а второй должен последовательно проползти через кубики с числами  a,  a + 9,  a + 18,  a + 27,  ...,  a + 72,  ...,  b.
  Рассмотрим теперь шахматную раскраску нашего куба. Можно считать, что кубик с числом a – чёрный. Заметим, что соседние по грани кубики должны иметь разные цвета. Значит, кубики с числами  a,  a + 18,  a + 36,  ...,  a + 72  – чёрные, а кубики с числами  a + 8,  a + 24,  a + 40,  ...,  a + 72  – белые.
  Таким образом, кубик с числом  a + 72  должен быть и чёрным, и белым. Противоречие.


Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 04.4.8.4
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 04.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .