|
|
 |
Условие
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Решение
Предположим, что это удалось. Рассмотрим некоторую точку A с целыми координатами, пусть в ней записано число a. Пусть a имеет n различных простых делителей. Возьмём на плоскости точку A1 с целыми координатами. На прямой AA1
имеется точка B1 также с целыми координатами (например, точка, симметричная точке A относительно A1).
Поскольку числа, записанные в точках A, A1 и B1, имеют общий делитель, больший 1, они (и, в частности,
число a) делятся на некоторое простое число p1.
Возьмём на плоскости точку A2 с целыми координатами, не лежащую на прямой AA1. На прямой AA2 имеется точка B2 с целыми координатами. Числа, записанные в
точках A, A2 и B2 (в частности, число a) делятся на некоторое простое число p2. Заметим, что p1 ≠ p2, ибо в противном случае числа, записанные в точках A, A1 и A2, имели бы общий делитель, что невозможно.
Продолжая эту процедуру далее, построим прямые AA3, AA4, ..., AAn+1, каждой из которых соответствует новый простой делитель числа a. Таким образом, число a имеет более n различных простых делителей. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
