Задача 110176

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Площадь четырехугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Общие четырехугольники ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через S' . Докажите, что <3 .

Решение

При указанном отражении сохраняются длины диагоналей четырехугольника. Пусть острый угол между диагоналями был равен α, тогда после отражения один из углов между диагоналями становится равным либо 3α, либо 3α-π , а поэтому отношение площадей равно || . Используя формулу для синуса тройного угла, получим, =|3-4 sin²α|<3 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	11
задача
Номер	05.4.11.6